Prüfe, ob das Polynom x3 + 4x + 9 irgendwelche Wurzeln besitzt.
Ein Wert x ist eine Nullstelle des Polynoms, wenn der Ausdruck x3 + 4x + 9 = 0 erfüllt ist.
Die Frage lautet: „Prüfe das Polynom auf Wurzeln“ – das kann bedeuten: reelle Wurzeln oder komplexe Wurzeln.
Da es sich um ein kubisches Polynom handelt, hat es nach dem Fundamentalsatz der Algebra immer mindestens eine komplexe Nullstelle. Aber oft interessiert man sich für reelle Wurzeln.
Wir betrachten die Funktion:
Als x → ∞ dominiert der Term x3, also gilt f(x) → ∞.
Als x → -∞ geht x3 gegen -∞, also gilt f(x) → -∞.
Da die Funktion von -∞ bis +∞ geht, muss sie mindestens einen Punkt durch den Ursprung verlaufen – also gibt es mindestens eine reelle Nullstelle.
Der Integralwurzelsatz besagt: Jede rationale Nullstelle p/q muss p teilen, die Konstante (9), und q teilen, den führenden Koeffizienten (1).
Die möglichen rationalen Werte sind: ±1, ±3, ±9.
Wir testen diese:
Keine der rationalen Werte ist eine Nullstelle. Das Polynom hat keine rationale Nullstelle.
Die Ableitung ist:
Da 3x2 ≥ 0 und +4 hinzugefügt wird, ist f'(x) > 0 für alle reellen x.
Das bedeutet: f(x) ist stetig steigend über ganz ℝ.
Ein streng monoton steigendes Polynom kann den "Graphen des x-Achsen" :-) nur einmal schneiden – also hat es genau eine reelle Nullstelle.
Wir prüfen den Wertverlauf:
Da f(-2) = -7 und f(-1) = 4, verändert sich das Vorzeichen – also gibt es eine Nullstelle im Intervall (-2, -1).
Wir verwenden das Newton-Raphson-Verfahren mit Startwert x₀ = -1.5:
Die Näherung zeigt: Die reelle Nullstelle liegt etwa bei x ≈ -1.465.