Black-Scholes-Modell für Ölpreis (Brent-Oil)

Was ist das Black-Scholes-Modell?

Das Black-Scholes-Modell ist das wichtigste Modell in der Finanzwirtschaft, um Optionspreise zu berechnen.

Wir verwenden es, um den Ölpreis (z. B. Brent-Oil) als stochastischen Prozess zu modellieren und dann eine Option (z. B. „Kauf einer Öl-Option“) zu bewerten.

Was ist die geometrische Brownian-Motion (GBM)?

Die geometrische Brownian-Motion (GBM) beschreibt, wie ein Ölpreis im Laufe der Zeit zufällig wächst – ein realistischer Ansatz für Finanzmärkte.

dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t)

S(t): Ölpreis zum Zeitpunkt t
μ: durchschnittliche Wachstumsrate (z. B. 0.01 = 1% pro Monat)
σ: Volatilität (z. B. 0.2 = 20% pro Monat)
dW(t): Zufallsweg (Wiener-Prozess)

Die GBM ist ein stochastischer Prozess, der den zufälligen Charakter von Märkten widerspiegelt.

Black-Scholes-Formel für eine Kaufoption (Call-Option)

C = S₀N(d₁) − K e^−rTN(d₂)

C: Preis der Call-Option
S₀: aktueller Ölpreis (z. B. 85 €/Barrel)
K: Ausübungspreis (z. B. 80 €/Barrel)
T: Zeit bis Ausübung (in Jahren)
r: Zinssatz (z. B. 2% pro Jahr)
N(⋅): Standardnormalverteilung

d₁ = (ln(S₀/K) + (r + 0.5σ²)T) / (σ√T)
d₂ = d₁ − σ√T

Warum ist das ein stochastischer Prozess?

Der Ölpreis folgt der GBM → ein stochastischer Prozess.

Die Option hängt von dieser zufälligen Entwicklung ab. Es gibt keine exakte Vorhersage – nur erwartete Preise mit Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel: Ein Ölpreis kann steigen oder fallen – das Modell zeigt nur die erwartete Entwicklung unter Berücksichtigung von Risiken.

Python-Code: Black-Scholes-Modell für Ölpreis (Brent-Oil)

      import numpy as np

      import matplotlib.pyplot as plt

      from scipy.stats import norm

      import datetime

      # ----------------------------------------

      # Parameter für das Modell

      # ----------------------------------------

      S0 = 85.0         # Startpreis (in USD/barrel) – z. B. Brent-Oil

      K = 80.0          # Ausübungspreis (z. B. 80€/Barrel)

      T = 1.0           # Zeit bis Ausübung (in Jahren) – z. B. 1 Jahr

      r = 0.02          # Zinssatz (2% pro Jahr)

      sigma = 0.20      # Volatilität (20% pro Jahr) – typisch für Öl

      # ----------------------------------------

      # Funktion: Black-Scholes-Call-Option

      # ----------------------------------------

      def black_scholes_call(S0, K, T, r, sigma):

          d1 = (np.log(S0 / K) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))

          d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)

          # Optionsscheinpreis

          C = S0 * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)

          return C

      # ----------------------------------------

      # Simuliere den Ölpreis über Zeit (mit GBM)

      # ----------------------------------------

      n_days = 252  # 1 Jahr (252 Trading-Tage)

      dt = 1 / 252

      time = np.arange(0, T + 0.01, dt)

      # Simuliere den Preis mit GBM (zufällige Entwicklung)

      np.random.seed(42)

      S = [S0]

      for i in range(1, n_days):

          # GBM-Schritt: Zufallsweg

          dz = np.random.normal(0, sigma * np.sqrt(dt))

          S_next = S[-1] * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * dz)

          S.append(S_next)

      # ----------------------------------------

      # Berechne Optionsscheinpreis (Black-Scholes)

      # ----------------------------------------

      option_price = black_scholes_call(S0, K, T, r, sigma)

      # ----------------------------------------

      # Visualisierung

      # ----------------------------------------

      fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(16, 7))

      # Ax1: Ölpreis über Zeit (GBM-Simulation)

      ax1.plot(time, S, marker='o', linestyle='-', color='blue', linewidth=2, markersize=4)

      ax1.axhline(y=S0, color='red', linestyle='--', alpha=0.7, label="Startpreis (85€)")

      ax1.axhline(y=K, color='orange', linestyle='--', alpha=0.7, label="Ausübungspreis (80€)")

      ax1.set_title("Ölpreis (Brent-Oil) über Zeit (GBM-Simulation)")
      ax1.set_xlabel("Zeit (in Jahren)")

      ax1.set_ylabel("Preis (USD/barrel)")

      ax1.grid(True, alpha=0.3)

      ax1.legend()

      ax1.set_ylim(60, 110)

      # Ax2: Black-Scholes-Optionsscheinpreis

      ax2.text(0.5, 0.5,

               f"Call-Optionsscheinpreis:\n{option_price:.2f} €/Barrel\n\n"

               f"Preis: {S0:.1f}€ → Ausübungspreis: {K:.1f}€\n"

               f"Zinssatz: {r*100:.1f}%\n"

               f"Volatilität: {sigma*100:.1f}%\n"

               f"Zeit: {T:.1f} Jahre",

               fontsize=12, ha='center', va='center',

               bbox=dict(boxstyle="round", facecolor="lightblue", alpha=0.9))

      ax2.set_title("Black-Scholes-Modell: Call-Option für Ölpreis")

      ax2.axis('off')  # Keine Achsen

      plt.tight_layout()

      plt.show()

      # Ausgabe: Ergebnisse

      print("=" * 60)

      print("BLACK-SCHOLES-ÖL-OPTIONSSCHEIN (BRENT-OIL)")

      print("=" * 60)

      print(f"Startpreis (S₀): {S0:.1f} €/Barrel")

      print(f"Ausübungspreis (K): {K:.1f} €/Barrel")

      print(f"Zinssatz (r): {r*100:.1f}% pro Jahr")

      print(f"Volatilität (σ): {sigma*100:.1f}% pro Jahr")

      print(f"Zeit bis Ausübung (T): {T:.1f} Jahr")

      print(f"Call-Optionsscheinpreis: {option_price:.2f} €/Barrel")

      print(f"Erwartete Preisentwicklung: {np.mean(S):.1f} € → {np.max(S):.1f} € (Max)")

      print(f"Erwartete Mindestpreis: {np.min(S):.1f} €")

Was bedeutet das?

Teil	Erklärung
GBM	Der Ölpreis wächst zufällig – realistisch für Märkte
Black-Scholes	Berechnet, wie viel eine Option kostet (z. B. „Kauf einer Option, die bei 80€ ausgeübt wird“)
Optionsschein	Ein Instrument, das Risiken abdeckt – z. B. für Unternehmen wie BMW

Warum ist das ein echtes Finanzmodell?

Eigenschaft	Erklärung
Realitätsnah	Ölpreise sind zufällig, mit Volatilität
Anwendbar	In der Praxis: Unternehmen nutzen es für Risikomanagement
Mathematisch fundiert	Black-Scholes ist das Standardmodell
Stochastisch	Der Preis folgt einem zufälligen Prozess (GBM)

Anwendung im Ölkraftmarkt

Öl-Optionsmärkte (z. B. in London, Dubai)
Risikomanagement für Unternehmen (z. B. BMW, Shell, BP)
Investitionen – z. B. Kauf einer Option, um gegen Ölpreissteigerungen geschützt zu sein

Beispiel: Ein Autohersteller (z. B. BMW) kauft eine Call-Option auf Brent-Oil, um bei steigenden Preisen Schutz zu erhalten – ohne das Risiko eines Preisanstiegs vollständig zu tragen.

Black-Scholes-Modell für den Ölpreis (Brent-Oil) – mit geometrischer Brownian-Motion (GBM)