Was bedeutet Wiener-Prozess?

Zum Namen: Stammt von dem US-amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener ab.

Was ist genau ein Wiener-Prozess?

Ein Wiener-Prozess ist ein stochastischer Prozess mit folgenden Eigenschaften:

Formel (für einen Schritt von t zu t+dt):

W(t+dt) − W(t) ∼ N(0, √dt)

Das bedeutet:

• Die Änderung ist normalverteilt (wie eine Zufallszahl)
• Mit Mittelwert 0 (kein "Bias")
• Mit Standardabweichung √dt (je kleiner dt, desto kleiner die Schwankung)

In der Finanzwirtschaft

Der Ölpreis oder Aktienkurs wird oft als geometrische Brownian-Motion modelliert, die einen Wiener-Prozess verwendet:

dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t)

• dW(t) ist ein kleiner Schritt des Wiener-Prozesses
• μ: durchschnittliche Wachstumsrate
• σ: Volatilität (wie "StÖrung" oder "Risiko")

Das bedeutet:

Der Kurs wächst mit einer durchschnittlichen Rate, aber mit zufälligen Schwankungen, die durch den Wiener-Prozess beschrieben werden.

Python-Code: Visualisierung eines Wiener-Prozesses

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameter
n_steps = 1000            # Anzahl der Schritte
dt = 0.01                 # Zeitintervall (z. B. 1 Tag)
t = np.arange(0, n_steps * dt, dt)

# Generiere einen Wiener-Prozess (zufällige Bewegung)
np.random.seed(42)
W = np.cumsum(np.random.normal(0, np.sqrt(dt), n_steps))  # W(t) = Summe von normalverteilten Schritten

# Visualisierung
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(t, W, marker='o', linestyle='-', color='blue', linewidth=2, markersize=4)
plt.title("Wiener-Prozess (Brownian-Motion) – Zufällige Bewegung ü;ber die Zeit")
plt.xlabel("Zeit (in Einheiten)")
plt.ylabel("Wert (z. B. Kurs, Temperatur, Position)")
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.axhline(y=0, color='gray', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.tight_layout()
plt.show()

# Zusätzliche Info
print("Wiener-Prozess-Eigenschaften:")
print("Startpunkt: 0")
print("Jeder Schritt ist normalverteilt (Mittelwert 0, Streuung √dt)")
print("Der Prozess ist stetig und zufällig")
print("In der Finanzmathematik: dW(t) ist die Basis für die Modellierung von Kursen")
  

Warum ist der Wiener-Prozess so wichtig?